>>> ANALYSE VECTORIELLE

MATHEMATIQUES - Semestre 4 (sous réserve du vote du CEVU)

Nombre de crédits

Semestre(s)

Volume Horaire

Précisions volumes horaires

Structure de rattachement

Autre(s) Structure(s) de rattachement

(Co)Responsable(s)

Sophie Guillaume

Campus d'enseignement

Contenu

1. Topologie de Rn : Définition d'une norme. Normes usuelles. Boules. Parties bornées, diamètre d’une partie. Parties ouvertes et fermées, voisinages. Suites : convergence, opération algébriques sur les limites, suites de Cauchy. Parties compactes. Théorème de Bolzano-Weierstrass.

2. Applications continues : Caractérisation par les suites. Applications uniformément continues. Applications lipschitziennes. Distance d’un point à une partie non vide. Cas des applications linéaires /multilinéaires, norme d’une application linéaire.

3. Dérivation et intégration des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans Rn : Dérivation, intégration d'une fonction continue par morceaux ; théorème fondamental du calcul différentiel et intégral ; inégalité des accroissements finis, formule de Taylor avec reste intégral ; inégalité de Taylor-Lagrange.

4. Fonctions numériques et vectorielles de plusieurs variables : Dérivée suivant un vecteur, dérivée partielle ; application de classe C1. Développement limité à l’ordre 1 d’une fonction de classe C1. Différentielle, matrice jacobienne, jacobien. Composée de deux fonctions de classe C1. Difféomorphismes. Matrice jacobienne d’une composée. Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1. Caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe.

5. Dérivées partielles d’ordre 2 : Théorème de Schwarz (admis). Matrice hessienne. Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 pour une fonction numérique, gradient, point critique, étude de l’existence d'un extremum local d’une fonction numérique de deux variables de classe C2.

6. Intégrale dépendant d'un paramètre : Théorème de continuité, de dérivation. Fonction Gamma.

Calendrier

Modalités de contrôle des connaissances

Langues d'enseignement