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MATHEMATIQUES - Semestre 5 (sous réserve du vote du CEVU)

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Structure de rattachement

Autre(s) Structure(s) de rattachement

(Co)Responsable(s)

Thierry Barbot

Campus d'enseignement

Contenu

1. Structures algébriques : Relations d’équivalence. Ensembles quotient. Lois quotient. Groupes. Classes modulo un sous-groupe. Groupes quotient. Anneaux et corps. Idéaux. Anneaux quotient. Caractéristique d’un anneau, d’un corps.

2. Arithmétique. Divisibilité dans un anneau principal.

Plus grand commun diviseur. Éléments premiers entre eux. Plus petit commun multiple. Éléments premiers. Existence de diviseurs premiers. Unicité de la décomposition en facteurs premiers. Anneaux Z/pZ, caractérisation des éléments inversibles. Indicatrice d'Euler, un théorème d'Euler généralisant le petit théorème de Fermat.

3. Espaces vectoriels : Espaces vectoriels quotient. Applications linéaires. Somme de sous-espaces vectoriels. Projecteurs. Dualité. Espace vectoriel dual. Base duale. Orthogonalité.

4. Polynômes : Monômes et polynômes en les éléments d’un anneau. Relations algébriques. Anneaux de polynômes. Polynômes à une indéterminée. Polynômes à plusieurs indéterminées. Polynômes à coefficients dans un anneau d’intégrité. Fonctions polynomiales. Valeurs d’un polynôme. Cas d’un corps infini. Division des polynômes à une indéterminée. Division euclidienne. Idéaux d’un anneau de polynômes à une indéterminée. PGCD et PPCM de plusieurs polynômes. Polynômes irréductibles. Racines d’un polynôme. Ordre de multiplicité. Nombre maximum de racines. Corps algébriquement clos. Théorème de d’Alembert-Gauss. Polynômes irréductibles dans un corps algébriquement clos et dans le corps des réels. Relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme.

5. Réduction d’un endomorphisme : Trigonalisation et diagonalisation. Polynôme minimal. Théorème de Cayley-Hamilton. Lemme des noyaux. Un critère de diagonalisation.

Décomposition canonique et théorème de Jordan. Sous-espaces caractéristiques. Structure des endomorphismes nilpotents.

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