>>> COURBES ET SURFACES

MATHEMATIQUES - Semestre 5 (sous réserve du vote du CEVU)

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Structure de rattachement

Autre(s) Structure(s) de rattachement

(Co)Responsable(s)

Marc Arcostanzo

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Contenu

1. Calcul intégral : Champs de vecteurs. Divergence , rotationnel. Intégrales curvilignes. Potentiel scalaire ; condition nécessaire et suffisante d’existence pour un champ de classe C1 d’un ouvert étoilé.

Intégrales doubles ou triples. Linéarité, croissance ; additivité par rapport aux ensembles. Calcul par intégrations successives. Changements de variables ; passage en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques. Exemples de calculs d’aires planes et de volume.

2. Courbes et surfaces : On admettra un énoncé du théorème des fonctions implicites. Définition diverses d’une courbe (plane ou non) et d’une surface, par paramètrages ou par équations. En un point régulier; tangente à une courbe, plan normal; plan tangent à une surface, normale. Tangente à l’intersection de deux surfaces en un point où les points tangents sont distincs. Etude locale d’une courbe paramétrée plane: position de la courbe par rapport à une droite ; concavité en un point birégulier, rebroussement, inflexions. Etude des branches infinies. Construction de courbes paramétrées. Etude locale d’une courbe paramétrée de l’espace: plan osculateur en un point birégulier, étude locale en un point trirégulier. Enveloppe d’une famille de droites dans le plan, donnée par une équation a(t)x+b(t)y+c(t)=0, sur un intervalle où ab’-ba’ ne s’annule pas. Etude des courbes planes définie par des coordonnées polaires: étude locale, comportement asymptotique, construction.

3. Propriétés métriques des courbes planes : Longueur d’un arc paramétré de classe C1, abscisse curviligne. Pour un arc birégulier du plan orienté, repère de Frenet, courbure, centre de courbure, développée, développante.

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